2012年考研数学冲刺模拟试题及答案(数学三).pdf

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1、全国统一服务热线：全国统一服务热线：400 66821551让有理想的人更加卓越！让有理想的人更加卓越！2012 年考研数学模拟题（数学三）2012 年考研数学模拟题（数学三）本试卷满分 150，考试时间 180 分钟一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸. . .指定位置上.（1）设函数( )yf x=具有二阶导数，且( )0,( )0fxfx，则（）（A）0.dyy （B）0.ydy （C）0.ydy （D）0.dyy xf，若极限()axaxfax+2lim存在，证明：（1）

2、在()ba,内( )0 xf；（2）在()ba,内存在，使( )( )fdxxfabba222=；（3）在()ba,内存在与（2）中相异的点，使( )()( )=badxxfaabf222（18） （本题满分 10）计算二重积分22Dxy dxdy+，其中积分区域D是由直线1,0 xy=及曲线22yx=在第一象限内围成的区域。（19） （本题满分 11 分）设120(1),(1,2,3,.)nnuxxdx n=，试讨论级数1nnu=的收敛性，当该级数收敛时，试求其和。（20） （本题满分 11 分）设1231121 ,1 ,0101 = = ；123401 ,0 ,11acb = = 。已知向

3、量组123, 与123, 是等价的，试求, ,a b c，并求向量1由123, 线性表出的表出式及1由123, 线性表出的表出式。我要考研啦公益论坛免积分下载我要考研啦公益论坛免积分下载全国统一服务热线：全国统一服务热线：400 66821553让有理想的人更加卓越！让有理想的人更加卓越！（21） （本题满分 10）已知矩阵111A=与211B=（1）试证明矩阵A与B合同，并求可逆矩阵C使得TC ACB=；（2）如果AkE+与BkE+合同，试求k的取值范围。（ 22 ） （ 本 题 满 分 11 分 ） 设 二 维 连 续 型 随 机 变 量(),X Y服 从 区 域D上 的 均 匀 分 布

4、， 其 中( , )|02Dx yyxy=，试求：（1）XY+的概率密度；（2）X的边缘概率密度；（3）()0.3|0.5P YX=（23） （本题满分 10 分）设总体X的概率密度为：360(),( ; )0,xxxf x，则（）（A）0.dyy （B）0.ydy （C）0.ydy （D）0.dyy 【答案】 ： （【答案】 ： （B）【解析】 ：）【解析】 ：()0dyfxx=，()()( )0000,()yf xxf xfx xxx =+=+由于( )0fx，可知( )0fx 单调递减，故( )()0ffx及0 x 易知0.ydy =，则易知( )f x在(,) +内单调有界；令( 1)

5、nnxn=，则 nx收敛。当2nk=时，2102kxk=，故()221arctan1arctan11,2kkf xxkk=+ =+ ；当21nk=+时，21021kxk=+，故()21211arctan1arctan0,21kkf xxkk+=+ = +。可知()nf x的奇数项与偶数项的极限不相同，故()nf x发散。故选项（A）是错误的。令nxn=，由选项（B）的分析可知()nf x是单调有界的，故()nf x收敛，但由于 nx是发散的，可知（C）错误；同时由于()nf x也是单调的，可知（D）也错误。可知，唯一正确的选项为（B） 。（5）假设三阶方阵,A B的特征值均为2,2,0，现有如

6、下命题：22AEBE+=+；AB；AB；()()22r AEr BE=其中正确的有（）个（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】 ： （【答案】 ： （B）【解析】 ：）【解析】 ：由于,A B的特征值相同，可知2AE+与2BE+的特征值也相同，故22AEBE+=+，可知是正确的。由于0是矩阵A的单特征值，可知0有且仅有一个线性无关的特征向量，故3( )1r A=，也即( )2r A=；同理可得( )2r B=，故AB，可知是正确的。特征值相同并不能得到矩阵相似， 故错误。 其反例如下： 令200211020 ,021000000AB=， 可知,A B的 特 征 值 均 为2,2,0。 如 果

7、AB， 那 么 由 相 似 矩 阵 的 性 质 ， 应 该 有22AEBE。 而0000112000,2001002002AEBE=， 易 知()()21,22r AEr BE=，()2r AE和()2r BE的秩不相同，这与22AEBE是矛盾的。故A与B不相似。由上面的例子可知()2r AE和()2r BE不一定相同，故也是错误的。故选（B） 。（6）设21,是矩阵A的两个不同的特征值,是A的分别属于21,的特征向量, 则（）我要考研啦公益论坛免积分下载我要考研啦公益论坛免积分下载全国统一服务热线：全国统一服务热线：40066821553让有理想的人更加卓越！让有理想的人更加卓越！（A）对任

8、意0, 021kk,21kk+都是A的特征向量.（B） 存在常数0, 021kk,21kk+是A的特征向量.（C） 当0, 021kk时,21kk+不可能是A的特征向量.（D）存在惟一的一组常数0, 021kk, 使21kk+是A的特征向量.【答案】 ： （【答案】 ： （C）【解析】 ：）【解析】 ：,是A的分别属于21,的特征向量，当0, 021kk时，1k与2k仍然分别是A属于21,的特征向量， 而矩阵两个不同特征值的特征向量相加不再是该矩阵的特征向量， 故此时21kk+不可能是A的特征向量。故（C）正确，其它选项均与（C）矛盾，故（C）是唯一正确的选项。注：注：本题也可以利用反证法证明

9、。假 设21kk+是A的 特 征 向 量 ， 也 即 存 在 实 数， 使 得()()1212A kkkk+=+， 由 于()12121 122A kkk Ak Akk+=+=+，故()121 122kkkk+=+，也即()()11220kk+=，由12及0, 021kk可知()11k与()22k不可能全为零，故,线性相关。 这与,是两个不同特征值的特征向量矛盾， 故假设不成立， 也即21kk+不可能是A的特征向量。（7）两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2:1， 另一罐 （取名“乙罐”） 内的黑球数与红球数之比为2:1， 今任取一罐并

10、从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的（）(A)154(B)254倍(C)798倍(D)1024【答案】 ： （【答案】 ： （D）【解析】 ：）【解析】 ：两只铁罐内都装有大量的红球和黑球，故在取球过程中两只铁罐中红球与黑球的比例可以近似地看作是不变的。这样当取定甲罐或乙罐时，每次取球可以看做是相互独立的，整个取球过程就可以看做一个伯努利试验。令A表示事件“取到甲罐” ，则A就表示事件“取到乙罐” ，再令B表示事件“取到的50 只球中有30只红球和20只黑球” 。当A发生时，也即取到甲罐时，每次取到红球的概率为23，故()30203

11、05021|33P B AC = 。当A发生时，也即取到乙罐时，每次取到红球的概率为13，故()3020305012|33P B AC = 。易知( )1( )2P AP A=，故由全概率公式可知( ) ()( ) ()3020302030305050121112( )|233233P BP A P B AP A P B ACC =+=+ 。再由贝叶斯公式可知：我要考研啦公益论坛免积分下载我要考研啦公益论坛免积分下载4全国统一服务热线：全国统一服务热线：4006682155让有理想的人更加卓越！精勤求学 自强不息让有理想的人更加卓越！精勤求学 自强不息该罐是“甲罐”的概率为3020305030

12、2030203030505021()33(|)( )21123333CP ABP A BP BCC = + ；该罐是“乙罐”的概率为30203050302030203030505012()33(|)( )21123333CP ABP A BP BCC = + ， 可知该罐该罐为“甲罐”的概率与该罐为“乙罐”的概率之比为(|)1024(|)P A BP A B=。故选(D)。（8）已知(),X Y服从二维正态分布，2,EXEYDXDY=，X与Y的相关系数0=，则X与Y（）（A）独立且有相同的分布（B）独立且有不相同的分布（C）不独立且有相同的分布（D）不独立且有不相同的分布【答案】 ： （【答案

13、】 ： （A）【 解 析 】 ：）【 解 析 】 ： 对 于 二 维 正 态 分 布 来 说 ， 相 关 系 数0=就 能 得 到X与Y相 互 独 立 。 又 由 于2,EXEYDXDY=，可知()()22,XNYN ，故X与Y具有相同的分布。故选（A） 。二、填空题二、填空题（9）积分()101cos2sincosrrddrrr+=+20。【答案】 ：【答案】 ：8【解析】 ：【解析】 ：先将该积分化作直角坐标下的积分12Dxdxdyxy+，其中22( , )|1,0,0Dx yxyxy=+。由于区域D关于直线对称，则由轮换对称性可知111111228222DDDDyyxxdxdydxdyd

14、xdydxdyxyxyxy+ +=+。（10）设()20ln 1ttxeyu du =+，求220td ydx= 【答案】 ：【答案】 ：0【解析】 ：【解析】 ：由参数方程求导的公式可得：()()()()2202ln 12 ln 12ln 1ttttu duttdytetdxee+= +我要考研啦公益论坛免积分下载我要考研啦公益论坛免积分下载全国统一服务热线：全国统一服务热线：40066821555让有理想的人更加卓越！让有理想的人更加卓越！()()()()2222222ln 1ln 12ln 112tttttttettettetetd ytdxee+= ，代入可知2200td ydx=。（

15、11）若二阶常系数线性齐次微分方程0yayby+=的通解为()12xyCC x e=+，则非齐次方程yaybyx+=满足条件( )( )00,00yy=的解为y =。【答案】 ：【答案】 ：(2)2xyxex=+【解析】 ：【解析】 ：由于齐次方程0yayby+=的通解为()12xyCC x e=+，可知特征方程的20ab+=由二重的特征根1，故特征方程为完全平方式()210=，对比可知2,1ab= =。则我们要计算的是2yyyx+=的解，由于已经知道齐次的通解，故设非齐次方程的特解*yAxB=+，代入方程中可得1,2AB=。故方程2yyyx+=的通解为()122xCC x ex+，再由( )

16、( )00,00yy=可得122,1CC= =，可知(2)2xyxex=+。（12）差分方程()14161 4tttyyt+=+满足初值03y =的特解是ty = 。【答案】 ：【答案】 ：()2223 4ttytt=+【解析】 ：【解析】 ：先解对应的齐次方程140ttyy+=，其通解为4tC。假设方程有特解()*4ttyt AtB=+，代入方程可得()()()()21211444161 4tttA tB tAtBtt+=+也即()()4 224161 4ttAtBt+=+，可得2AB=。故原方程的通解为()2224ttyttC=+，再由03y =，可得3C =。则满足条件的特解为()2223 4ttytt=+（13）设,A B都是n阶可逆矩阵，且2,3AB=， 则=1002BAT。【答案】 ：【答案】 ：2123n+【解析】 ：【解析】 ：由行列式的相关公式可知：2112212110022( 2)22300TTnnnTnAAABA BBB+= =。（14）设随机变量X与Y独立，X服从参数为2的泊松分布，Y服从区间3,3上的均匀分布，则()D XY =_.【答案】 ：【答案】 ：18