高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第7节立体几何中的向量方法第二课时求空间角与距离课时训练理.doc-汇文网

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1、第二课时求空间角与距离 【选题明细表】知识点、方法题号利用向量法求异面直线所成角3利用向量法求直线与平面所成角2利用向量法求二面角3,4利用向量法求距离1综合应用5【教师备用】 (2016邢台摸底考试)如图,已知四棱锥PABCD的底面为菱形,BCD=120,AB=PC=2,AP=BP=2.(1)求证:ABPC;(2)求二面角BPCD的余弦值.(1)证明:取AB的中点O,连接PO,CO,AC,因为APB为等腰三角形,所以POAB,又四边形ABCD是菱形,BCD=120,所以ACB是等边三角形,所以COAB.又COPO=O,所以AB平面PCO,又PC平面PCO,所以ABPC.(2)解:易求得PO=

2、1,OC=3,所以OP2+OC2=PC2,所以OPOC.以O为坐标原点,以OC所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系如图所示.则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(3,0,0),P(0,0,1),D(3,-2,0),BC=(3,-1,0),PC=(3,0,-1),DC=(0,2,0).设平面DCP的法向量n=(x,y,z),则PCn=0,DCn=0,即3x-z=0,2y=0,令x=1,得y=0,z=3,所以n=(1,0,3),设平面PCB的法向量m=(a,b,c),PCm=0,BCm=0,即3a-c=0,3a-b=0,令a=1,则b=c=3,所以m=(

3、1,3,3),所以cos=mn|m|n|=277,由图易知二面角BPCD的平面角为钝角.所以二面角BPCD的余弦值为-277.1.(2016郑州第一次质量预测)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,ADBC,PD底面ABCD,ADC=90,AD=2BC,Q为AD的中点,M为棱PC的中点. (1)证明PA平面BMQ;(2)已知PD=DC=AD=2,求点P到平面BMQ的距离.(1)证明:连接AC交BQ于N,连接MN,因为ADC=90,Q为AD的中点,所以N为AC的中点,又M为PC的中点,MN为PAC的中位线,故MNPA,又MN平面BMQ,所以PA平面BMQ.(2)解:以D为坐标原点,

4、DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),Q(1,0,0),B(1,2,0),M(0,1,1). 所以MP=(0,-1,1),QM=(-1,1,1),BM=(-1,-1,1),设n=(x,y,z)是平面BQM的法向量,则nQM,nBM,所以nQM=0,nBM=0,即-x+y+z=0,-x-y+z=0,令z=1,则x=1,y=0,所以n=(1,0,1),则P点到平面BQM的距离为d=|MPn|n|=12=22.2.(2015高考新课标全国卷)如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=1

5、0,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与平面所成角的正弦值.解:(1)交线围成的正方形EHGF如图. (2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,所以AH=10.以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(10,0,0),H(10,10,0), E(10,4,8),F(0,4,8),FE=(10,0

6、,0),HE=(0,-6,8).设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则nFE=0,nHE=0,即10x=0,-6y+8z=0,所以可取n=(0,4,3).又AF=(-10,4,8),故|cos|=|nAF|n|AF|=4515.所以AF与平面所成角的正弦值为4515.3.(2016贵阳监测考试)如图,已知四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ADBC,ADCD,且ABAC,AB=AC=PA=2,E是BC的中点. (1)求异面直线AE与PC所成的角;(2)求二面角DPCA的平面角的余弦值.解:(1)如图所示,以A点为原点建立空间直角坐标系Axyz, 则B(2,0,0),C(0,2,0),

7、P(0,0,2).故E(1,1,0),AE=(1,1,0),PC=(0,2,-2),cos=AEPC|AE|PC|=,即=60,故异面直线AE与PC所成的角为60.(2)因为AB=AC=2,ABAC,所以ABC=ACB=45,因为ADBC,所以DAC=ACB=45,又ADCD,所以AD=CD=2,所以D(-1,1,0),又C(0,2,0),所以CD=(-1,-1,0),PC=(0,2,-2).设n=(x,y,z)是平面PCD的法向量,则CDn,PCn,即CDn=0,PCn=0,所以-x-y=0,2y-2z=0,令x=-1得y=1,z=1,则n=(-1,1,1),|n|=3.又AB平面PAC,所

8、以AB=(2,0,0)是平面PAC的一个法向量,所以cos=ABn|AB|n|=-33,所以二面角DPCA的平面角的余弦值为33.4.(2015河南三市第三次调研)在三棱锥PABC中,PA底面ABC,PB=PC=26,BC=42,PA=m(m0). (1)当m为何值时,点A到平面PBC的距离最大,并求出最大值;(2)当点A到平面PBC的距离取得最大值时, 求二面角APBC的余弦值.解:(1)设D为BC的中点,连接AD,PD,因为PA平面ABC,所以PABC.在等腰三角形PBC中,因为BD=DC,所以BCPD,又因为PDPA=P,所以BC平面PAD,又因为BC平面PBC,所以平面PBC平面PAD

9、.在平面PAD中,过A作AMPD于M,则AM平面PBC.即AM为点A到平面PBC的距离.在PDB中,PD=PB2-BD2=32.在RtPAD中,AD=PD2-PA2=18-m2,且PAAD=PDAM,所以AM=PAADPD=m18-m232=m2(18-m2)32322,当且仅当m2=18-m2,即m=3时等号成立.故当m=3时,点A到平面PBC的距离最大,最大值为322.(2)当m=3时,AD=3,过D作DEAP,以点D为坐标原点,分别以DA,DB,DE所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系如图所示. 则A(3,0,0),P(3,0,3),B(0,22,0),C(0,-22,0),所以A

10、P=(0,0,3),BP=(3,-22,3),CB=(0,42,0).设平面PAB的法向量p=(x,y,z).则pAP=0,pBP=0,即3z=0,3x-22y+3z=0,即z=0,x=223y.取p=(223,1,0).同理,平面PBC的一个法向量q=(1,0,-1).cos=pq|p|q|=21717.所以二面角APBC的余弦值为21717.5. 如图,侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中,ABAC,AA1+AB+AC=3,AB=AC=t(t0),P是侧棱AA1上的动点. (1)当AA1=AB=AC时,求证:A1C平面ABC1;(2)试求三棱锥PBCC1的体积V取得最大值时的t值;(

11、3)若二面角ABC1C的平面角的余弦值为1010,试求实数t的值.(1)证明:因为AA1平面ABC,AB,AC平面ABC, 所以AA1AC,AA1AB.又ABAC,所以以A为原点,分别以AB,AC,AA1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0),C1(0,1,1),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),A1C=(0,1,-1),AC1=(0,1,1),AB=(1,0,0).设平面ABC1的法向量n=(x,y,z),则nAC1=y+z=0,nAB=x=0,解得x=0,y=-z.令z=1,则n=(0,-1,1).因为A1C=-n,所以A1C平面A

12、BC1.(2)解:因为AA1平面BB1C1C,所以点P到平面BB1C1C的距离等于点A到平面BB1C1C的距离.所以V=VABCC1=VC1ABC=t2(3-2t)=t2-t3(0t),令f(t)=t2-t3,则f(t)=-t(t-1),易得f(t)在(0,1)递增,在(1, )递减,所以当t=1时,Vmax=.(3)解:A(0,0,0),C1(0,t,3-2t),B(t,0, 0),C(0,t,0),A1(0,0,3-2t),A1C=(0,t,2t-3),AC1=(0,t,3-2t),AB=(t,0,0),CC1=(0,0,3-2t),BC=(-t,t,0).设平面ABC1的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1AC1=ty1+(3-2t)z1=0,n1AB=tx1=0,解得x1=0,y1=2t-3tz1,令z1=t,则n1=(0,2t-3,t).设平面BCC1的法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2BC=-tx2+ty2=0,n2CC1=(3-2t)z2=0,解得x2=y2,z2=0.令y2=1,则n2=(1,1,0).设二面角ABC1C的平面角为,则有cos =|n1n2|n1|n2|=|2t-3|2t2+(2t-3)2=1010.化简得5t2-16t+12=0,解得t=2(舍去)或t=.所以当t=时,二面角ABC1C的平面角的余弦值为1010.