一级结构工程师《基础考试-公共基础》考点整理.docx

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1、一级结构工程师基础考试-公共基础考点整理第1章 数学（试题配置：24题）1.1 空间解析几何1. 向量的模非零向量=（a，b，c），=a2+b2+c2|ab|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积2. 向量的积数量积： ab=a |b|cos ab=0 ab向量积：|ab|=a |b|sin ab=0 a/b几何意义该向量垂直于a和b向量数量积：结果为标量，为一个向量在另一个向量上的投影向量积：结果为向量，为a和b向量构成平面的法向量 =（a，b，c）=（x，y，z） =ax+by+cz = ijkabcxyz =(bz-yc，cx-az，ay-bx)M0（x0，y0，z0）是平面

2、上一点n=（A，B，C）是平面的法向量3. 平面方程 点法式方程：Ax-x0+By-y0+Cz-z0=0平面与x，y，z轴分别交于（a，0，0）、（0，b，0）、（0，0，c） 一般方程：Ax+By+Cz+D=0截距式方程：xa+yb+zc=14. 直线方程 直线L为平面1和平面2的交线直线的方向向量为两平面法向量的向量积一般方程： A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0 M0（x0，y0，z0）是直线L上一点S=（m，n，p）是直线L的方向向量对称式方程：x-x0m=y-y0n=z-z0p x=x0+mt 参数方程： y=y0+nt z=z0+pt5. 两平面的夹

3、角（两直线的夹角类似）平面1：A1x+B1y+C1z+D1=0和平面2：A2x+B2y+C2z+D2=0平面1和2的夹角为cos=|n1n2|n1 |n2|=|A1A2+B1B2+C1C2|A12+B12+C12 A22+B22+C22（法向量的夹角）若1与2垂直（法向量相互垂直） A1A2+B1B2+C1C2=0（数量积为0）若1与2平行（法向量平行） A1A2=B1B2=C1C2（法向量成倍数）6. 点到平面的距离空间一点P0（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0 的距离d为：d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2定义7. 旋转曲面一条平面曲线绕其平面上的一条定直线

4、旋转一周所成的曲面称为旋转曲面，平面曲线和定直线分别称为旋转曲面的母线和轴。即将母线方程中的y换成x2+y2已知旋转曲面的母线C的方程为：fy，z=0,（x=0），则该曲线C绕z轴旋转而成的旋转曲面方程为fx2+y2，z=0 8. 柱面如果曲面方程F(x，y，z)=0中，缺少某个变量，那么该方程一般表示一个柱面；该柱面的母线平行于缺少变量的轴。如：F(x，y)=0一般表示一个母线平行于z轴的柱面。附：相关知识三角函数表030456090120135150180sin012223213222120cos13222120-12-22-321tan03313-31-330cot31330-331-3

5、三角函数图象 1.2 微分学1. 极限常见的两个重要极限 limx0sinxx=1 limx1+1xx=limx01+x1x=e无穷小的比较 若lim=0，则称是比高阶的无穷小； 若lim=c0，则称是与同阶的无穷小； 若lim=1，则称是与等阶的无穷小，记作。2. 连续函数f（x）在点x0处连续的条件：f（x0）有定义；limxx0f(x)存在；limxx0f(x)=f(x0)若上述条件中任一条不满足，则点x0称为函数的间断点。第一类间断点 跳跃间断点：f(x0+)及f(x0-)均存在但不相等 可去间断点：f(x0+)及f(x0-)均存在且相等充要条件第二类间断点：不是第一类的间断点函数f（

6、x）在点x0处连续 在该点处的左右极限存在且相等，并等于函数在该点处的函数值。3. 奇函数与偶函数设D为对称于原点的数集，f（x）为定义在D上的函数，若对每一个x D有f-x=-f(x) f（x）为奇函数，在对称的单调区间有相同的单调性f-x=f(x) f（x）为偶函数，在对称的单调区间有相反的单调性4. 导数定义函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率称为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作f(x0)。fx0=limx0fx0+x-f(x0)x=limxx0fx-f(x0)x-x0导数的几何意义：就是曲线在点（x0，f（x0）处的切线斜率，即fx0=tan（为切线与x轴的交角）。判断一个

7、函数在x0处是否可导的方法若Fx=f(x)，则称函数F(x)为函数f(x)的原函数，f(x)为F(x)的导函数。 首先判断函数在x0是否有定义，即f(x0)是否存在；其次判断f(x0)是否连续；再次判断函数在x0的左右导数是否存在且相等；只有以上都满足，函数在x0处才可导。函数的求导法则：设u=u（x），v=v（x）都可导，则 uv=uv Cu=Cu uv=uv+uv uv=uv-uvv2反函数的求导法则：设 x=f（y），则它的反函数y=f-1（x）的导数为 f-1x=1f(y)复合函数求导法则设y=f（u），而u=g（x），则yx=fgx=f(u)g(x)函数单调性、极值和拐点定理设函数y

8、=f（x）在闭区间a，b上连续，在开区间（a，b）内可导如果在（a，b）内fx0 函数y=f（x）在a，b上单调增加如果在（a，b）内fx0 函数y=f（x）在a，b上单调减少定理设函数f（x）在x0处具有二阶导数，且fx0=0，fx00，则当fx00 时，函数f（x）在x0处取得极小值曲线凹凸性判定 当fx在区间上为正，f（x）的图形为凹 当fx在区间上为负，f（x）的图形为凸 若fx0=0，且fx在x0的左右两侧邻近异号 点(x0，fx0)为曲线拐点limxa（x）fxg(x)=limxa（x）fxgx导数的应用洛必达法则： 使用条件1.属于0/0型或/型的未定式；2.在变量所趋向值的去心

9、领域内，分子和分母均可导，且分母的导数不为零；3.分子分母求导后的商的极限存在或为无穷大。充要条件5. 微分函数y=f(x)在点x0可微分 f(x)在点x0可导 函数连续如果y=f(x)在点x0处的导数fx00，则dy=fx0dx复合函数z=fx，y，x，y，其中u=x，y及v=x，y，则 zx=zu ux+zv vx zy=zu uy+zv vy 1.3 积分学1. 不定积分 fx+gxdx=fxdx+gxdx kfxdx=kfxdx2. 定积分两边求导若Fx=f(x) ，则 abf(x)dx=Fb-F(a) Fx=abf(t)dt Fx=bfb-af(a)3. 换元积分法与分部积分法设f(

10、u)具有原函数，u=(x)可导，则有(x)xdx=f(u)du分部积分法：uvdx=uv-uvdx4. 二重积分二重积分Df(x，y)d，其中D称为积分区域，d称为面积微元。直角坐标法设积分区域D由不等式(axb，1(x)y2(x)表示，则称区域D为X型区域。Df(x，y)d=abdx1(x)2(x)fx，ydy=ab1(x)2(x)f(x，y)dydx 积分顺序：先y后x设积分区域D由不等式(cyd，1(y)x2(y)表示，则称区域D为Y型区域。Df(x，y)d=cddy1(y)2(y)fx，ydx=cd1(y)2(y)fx，ydxdy 积分顺序：先x后y极坐标法令x=rcos，y=rsin

11、，有面积微元d=rdrd，积分区域D可表示为：D=r1rr2，则 Df(x，y)d=Df(rcos,rsin)rdrd=dr1r2f(rcos,rsin)rdrDf(x，y)d=利用奇偶性求二重积分 0， 当f(x，y)关于x是奇函数，D关于y轴对称Df(x，y)d= 2D1f(x，y)d，当f(x，y)关于x是偶函数，D关于y轴对称 0， 当f(x，y)关于y是奇函数，D关于x轴对称 2D1f(x，y)d，当f(x，y)关于y是偶函数，D关于x轴对称5. 平面曲线积分曲线弧L方程为y=(x) （x0xx1），则 Lfx，yds=x0x1fx，(x)1+2(x)dx6. 积分应用定积分求平面图

12、形面积直角坐标下，设平面图形由曲线y=f(x)，y=g(x)和直线x=a，x=b（a0) ,则数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN ；称以10为底的对数叫做常用对数，记为lgN；以无理数e（e=2.71828）为底的对数称为自然对数，记为lnN。1.4 无穷级数1. 数项级数常数项级数性质：若n=1un收敛，则limnun=0；反之，不一定成立。几何级数n=1aqn-1，当|q|0），当p1时，级数收敛；当0p1时，级数发散2. 正项级数审敛法比较审敛法：设unvn，若级数n=1vn收敛，则级数n=1un收敛；反之发散比值审敛法：若limnun+1un=，当1时级数发散根值审敛法：若l

13、imnun=，当1时级数发散若n=1|un|收敛，则称级数n=1un绝对收敛；若级数n=1un收敛，而n=1|un|发散，则称级数n=1un条件收敛。3. 幂级数幂级数n=0anxn，若limnan+1an=（或limnnan=）,则该级数的收敛半径R为： 1 （当0） R = +（当=0）0 （当=+）4. 泰勒级数 ex=n=0xnn! （-x+） sinx=n=0(-1)nx2n+1(2n+1)! （-x+） ln(1+x)=n=0(-1)nxn+1n+1! （-1x1） 11+x=n=0(-1)nxn （-1x1）1.5 常微分方程1. 一阶线性方程一阶线性方程：y+pxy=Q(x)

14、或 x+pyx=Q(y)当Q(x)=0时，上式称为线性齐次方程；当Q(x)0时，上式称为线性非齐次方程。线性齐次方程的通解为：y=ce-p(x)dx线性非齐次方程的通解为：y=e-p(x)dxQxepxdxdx+c2. 常系数线性方程二阶常系数线性齐次方程：y+py+qy=0（其中p、q为常数），其特征方程为：r2+pr+q=0，其中r为特征根。二阶常系数齐次方程的通解为：r1、r2为两个不等实根时，y=c1er1x+c2er2x （c1、c2为常数）r1 = r2 = r时，y=(c1+c2x)erx1.6 概率与数理统计和事件：事件A与B中至少有一事件发生，叫作A与B的并，记作AB。1.

15、概率相关概念积事件：事件A与B都发生，叫作A与B的交，记作AB或AB。差事件：若事件A发生，且事件B不发生，叫作A与B的差，记作A-B。互斥（或互不相容）：若A与B不可能同时发生（AB=），则称A与B互斥；两互斥事件A与B的并记作A+B。对立：事件A与B中有且仅有一事件发生，则称A与B互为对立事件（或互逆），记作A，相互独立：在一次实验中，一个事件的发生不会影响到另一个事件发生的概率。充要条件条件概率：在事件A发生的前提下事件B发生的概率，记作P（B|A）。事件A与B相互独立 PAB=PAPB2. 概率计算公式 PA=1-PA PA+B=PA+PB-PAB PB-A=PB-PBA PAB=PA

16、|BPB=PBAPA事件A与B相互独立时，PBA=PB，PAB=PA3. 一维随机变量定义随机变量的分布函数随机变量X取得的值不大于x的概率，即F(x)=P(Xx)，函数F(x)叫作随机变量X的概率分布函数或分布函数。定义 px=limx0P(xXx+x)x，此极限叫作随机变量X在点x处的概率密度。 Fx=p(x) Fx=P-Xx=-xp(x)dx 当随机变量X的取值位于区间a，b内时，abp(x)dx=1随机变量的期望（E(X)）E(X)= kxkpk ， X为离散型随机变量 -+xp(x)dx ，X为连续型随机变量随机变量的方差（D(X)） DX=EX-E(X)2=EX2-E(X)2 Dx

17、= -+X-E(X)2p(x)dxD(c)=0（c为常数）D(kX)=k2D(X)（k为常数）D(X+c)=D(X)D(kX+lY+c)=k2D(X)+ l2D(Y)E(c)=c（c为常数）E(kX)=kE(X)（k为常数）E(X+c)=E(X)+cE(kX+lY+c)=kE(X)+ lE(Y)+c4. 数理统计设EX=，DX=2，则 EX=，DX=2n，ES2=2 样本均值：X=1ni=1nXi 样本方差：S2=1n-1i=1n(Xi-X)2 样本标准差：S=S25. 参数估计定义设参数的估计量=X1,X2,Xn的数学期望存在且等于，即E=，则称是的无偏估计量。1.7 线性代数1. 行列式行

18、列式是数表A按一定的运算法则所确定的一个数。实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号行列式的运算 a1b1a2b2=a1b2-a2b1 a1b1c1a2b2c2a3b3c3=a1b2c2b3c3-b1a2c2a3c3+c1a2b2a3b3 对角行列式12n=12n主对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角形行列式，它的值与对角行列式一样。记D=a11a12a1na21a22a2nan1an2ann，DT=a11a21an1a12a22an2a1na2nann，DT称为D的转置行列式。在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ai

19、j的余子式，记作Mij；记Aij=(-1)i+jMij，Aij叫做元素aij的代数余子式。一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）元aij外都为零，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即D=aijAij 行列式与它的转置行列式相等。 互换行列式的两行（列），行列式变号。行列式的性质 如果行列式有两行（列）完全相同（或成比例），则此行列式等于零。 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以数k，等于用数k乘此行列式。 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。行列式中任一行（列）的元素与它对应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。2.

20、矩阵定义由m n个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称mn矩阵。单位矩阵是主对角线上的元素均为1，而其余元素均为0的n阶矩阵，记作E。 A+B=B+A=a11+b11a12+b12a1n+b1na21+b21a22+b22a2n+b2nam1+bm1am2+bm2amn+bmn矩阵的运算 A=A=a11a12a1na21a22a2nan1an2ann a11a12a13a21a22a23b11b21b12b22b31b32=a11b11+a12b21+a13b31a11b12+a12b22+a13b32a21b11+a22b21+a23b31a21b12+a22b22+a23b

21、32定义（注：只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘）把 矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵，记作AT。 (AT)T=A (A+B)T=AT+BT定义 (A)T=AT (AB)T=BTAT由n阶方阵A的元素所构成的行列式，称为方阵A的行列式，记作|A|。定义由|A|的代数余子式Aij所构成的n阶方阵称为方阵A的伴随矩阵，记作A*。定义 AA*=A*A=|A|E充要条件对n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称方阵A是可逆的，B是A的逆矩阵，记作A-1。 A0=E (A-1)-1=A (AB)-1=B-1A-1 (A)-1=1A-1n阶方阵可逆

22、 |A|0 ，当|A|0时，A-1=1|A|A* A=n|A| AB=|A|B| AT=|A| A*=|A|n-1 A-1=1|A|3. 矩阵的初等变换对调两行（列）；以数k乘某一行（列）中的所有元素；把某一行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）对应的元素上去；充要条件 矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，称矩阵A与B等价，记作AB。求逆矩阵的方法 方阵A可逆 AE对（A|E）施行行变换，（A，E）(E，A-1)。定义4. 矩阵的秩 在mn矩阵A中，任取k行与k列，不改变它们在A中所处位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。求矩阵秩的方法设在矩阵A中有一个r阶非零子式D，且所有r+1阶

23、子式全为0，则D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）。若AB，则R（A）= R（B）。 用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，矩阵的秩等于非零行的行数。 5. 线性方程组对于线性方程组 a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2am1x1+am2x2+amnxn=bm记A=（aij），x=x1x2xn，b=b1b2bn，B=a11a12a1nb1a21a22a2nb2am1am2amnbm其中A称为系数矩阵，x称为未知数向量，b称为常数项向量，B称为增广矩阵。此方程组可记作Ax=b，常数项b不全为零时，方程组叫做非齐次线性方程组；当常数

24、项b全为零时，方程组叫做齐次线性方程组。如果线性方程组Ax=b的系数行列式|A|0，则方程组有惟一解。如果线性方程组Ax=b无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。如果齐次线性方程组Ax=0有非零解，则它的系数行列式必为零。充要条件无解 R（A） R（A，b）n元线性方程组Ax=b 有惟一解 R（A）= R（A，b）= n求线性方程组解的方法 有无限多解 R（A）= R（A，b） n对增广矩阵B=（A，b）施行行变换，（A，b）(E，x)。6. 向量组的线性相关性定义n个有次序的数a1，a2，an所组成的数组称为n维向量。若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组。充要条件 设有向量组A：a1，a2，am，如果有一组不全为零的数k1，k2，km，使得k1a1+ k2a2+ +km am=0，则向量组A是线性相关的，否则A是线性无关的。设n个n维向量构成方阵A，此向量组A线性相关 |A|=0定义7. 特征值与特征向量 设A为n阶方阵，若数与非零向量x使Ax=x，则数称为方阵A的特征值；非零向量x称为A的对应特征值的特征向量。设n阶矩阵A的特征值为1，2，n，则