一级结构工程师《基础考试-公共基础》考点整理.docx
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1、一级结构工程师基础考试-公共基础考点整理第1章 数学(试题配置:24题)1.1 空间解析几何1. 向量的模非零向量=(a,b,c),=a2+b2+c2|ab|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积2. 向量的积数量积: ab=a |b|cos ab=0 ab向量积:|ab|=a |b|sin ab=0 a/b几何意义该向量垂直于a和b向量数量积:结果为标量,为一个向量在另一个向量上的投影向量积:结果为向量,为a和b向量构成平面的法向量 =(a,b,c)=(x,y,z) =ax+by+cz = ijkabcxyz =(bz-yc,cx-az,ay-bx)M0(x0,y0,z0)是平面
2、上一点n=(A,B,C)是平面的法向量3. 平面方程 点法式方程:Ax-x0+By-y0+Cz-z0=0平面与x,y,z轴分别交于(a,0,0)、(0,b,0)、(0,0,c) 一般方程:Ax+By+Cz+D=0截距式方程:xa+yb+zc=14. 直线方程 直线L为平面1和平面2的交线直线的方向向量为两平面法向量的向量积一般方程: A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0 M0(x0,y0,z0)是直线L上一点S=(m,n,p)是直线L的方向向量对称式方程:x-x0m=y-y0n=z-z0p x=x0+mt 参数方程: y=y0+nt z=z0+pt5. 两平面的夹
3、角(两直线的夹角类似)平面1:A1x+B1y+C1z+D1=0和平面2:A2x+B2y+C2z+D2=0平面1和2的夹角为cos=|n1n2|n1 |n2|=|A1A2+B1B2+C1C2|A12+B12+C12 A22+B22+C22(法向量的夹角)若1与2垂直(法向量相互垂直) A1A2+B1B2+C1C2=0(数量积为0)若1与2平行(法向量平行) A1A2=B1B2=C1C2(法向量成倍数)6. 点到平面的距离空间一点P0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0 的距离d为:d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2定义7. 旋转曲面一条平面曲线绕其平面上的一条定直线
4、旋转一周所成的曲面称为旋转曲面,平面曲线和定直线分别称为旋转曲面的母线和轴。即将母线方程中的y换成x2+y2已知旋转曲面的母线C的方程为:fy,z=0,(x=0),则该曲线C绕z轴旋转而成的旋转曲面方程为fx2+y2,z=0 8. 柱面如果曲面方程F(x,y,z)=0中,缺少某个变量,那么该方程一般表示一个柱面;该柱面的母线平行于缺少变量的轴。如:F(x,y)=0一般表示一个母线平行于z轴的柱面。附:相关知识三角函数表030456090120135150180sin012223213222120cos13222120-12-22-321tan03313-31-330cot31330-331-3
5、三角函数图象 1.2 微分学1. 极限常见的两个重要极限 limx0sinxx=1 limx1+1xx=limx01+x1x=e无穷小的比较 若lim=0,则称是比高阶的无穷小; 若lim=c0,则称是与同阶的无穷小; 若lim=1,则称是与等阶的无穷小,记作。2. 连续函数f(x)在点x0处连续的条件:f(x0)有定义;limxx0f(x)存在;limxx0f(x)=f(x0)若上述条件中任一条不满足,则点x0称为函数的间断点。第一类间断点 跳跃间断点:f(x0+)及f(x0-)均存在但不相等 可去间断点:f(x0+)及f(x0-)均存在且相等充要条件第二类间断点:不是第一类的间断点函数f(
6、x)在点x0处连续 在该点处的左右极限存在且相等,并等于函数在该点处的函数值。3. 奇函数与偶函数设D为对称于原点的数集,f(x)为定义在D上的函数,若对每一个x D有f-x=-f(x) f(x)为奇函数,在对称的单调区间有相同的单调性f-x=f(x) f(x)为偶函数,在对称的单调区间有相反的单调性4. 导数定义函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0)。fx0=limx0fx0+x-f(x0)x=limxx0fx-f(x0)x-x0导数的几何意义:就是曲线在点(x0,f(x0)处的切线斜率,即fx0=tan(为切线与x轴的交角)。判断一个
7、函数在x0处是否可导的方法若Fx=f(x),则称函数F(x)为函数f(x)的原函数,f(x)为F(x)的导函数。 首先判断函数在x0是否有定义,即f(x0)是否存在;其次判断f(x0)是否连续;再次判断函数在x0的左右导数是否存在且相等;只有以上都满足,函数在x0处才可导。函数的求导法则:设u=u(x),v=v(x)都可导,则 uv=uv Cu=Cu uv=uv+uv uv=uv-uvv2反函数的求导法则:设 x=f(y),则它的反函数y=f-1(x)的导数为 f-1x=1f(y)复合函数求导法则设y=f(u),而u=g(x),则yx=fgx=f(u)g(x)函数单调性、极值和拐点定理设函数y
8、=f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导如果在(a,b)内fx0 函数y=f(x)在a,b上单调增加如果在(a,b)内fx0 函数y=f(x)在a,b上单调减少定理设函数f(x)在x0处具有二阶导数,且fx0=0,fx00,则当fx00 时,函数f(x)在x0处取得极小值曲线凹凸性判定 当fx在区间上为正,f(x)的图形为凹 当fx在区间上为负,f(x)的图形为凸 若fx0=0,且fx在x0的左右两侧邻近异号 点(x0,fx0)为曲线拐点limxa(x)fxg(x)=limxa(x)fxgx导数的应用洛必达法则: 使用条件1.属于0/0型或/型的未定式;2.在变量所趋向值的去心
9、领域内,分子和分母均可导,且分母的导数不为零;3.分子分母求导后的商的极限存在或为无穷大。充要条件5. 微分函数y=f(x)在点x0可微分 f(x)在点x0可导 函数连续如果y=f(x)在点x0处的导数fx00,则dy=fx0dx复合函数z=fx,y,x,y,其中u=x,y及v=x,y,则 zx=zu ux+zv vx zy=zu uy+zv vy 1.3 积分学1. 不定积分 fx+gxdx=fxdx+gxdx kfxdx=kfxdx2. 定积分两边求导若Fx=f(x) ,则 abf(x)dx=Fb-F(a) Fx=abf(t)dt Fx=bfb-af(a)3. 换元积分法与分部积分法设f(
10、u)具有原函数,u=(x)可导,则有(x)xdx=f(u)du分部积分法:uvdx=uv-uvdx4. 二重积分二重积分Df(x,y)d,其中D称为积分区域,d称为面积微元。直角坐标法设积分区域D由不等式(axb,1(x)y2(x)表示,则称区域D为X型区域。Df(x,y)d=abdx1(x)2(x)fx,ydy=ab1(x)2(x)f(x,y)dydx 积分顺序:先y后x设积分区域D由不等式(cyd,1(y)x2(y)表示,则称区域D为Y型区域。Df(x,y)d=cddy1(y)2(y)fx,ydx=cd1(y)2(y)fx,ydxdy 积分顺序:先x后y极坐标法令x=rcos,y=rsin
11、,有面积微元d=rdrd,积分区域D可表示为:D=r1rr2,则 Df(x,y)d=Df(rcos,rsin)rdrd=dr1r2f(rcos,rsin)rdrDf(x,y)d=利用奇偶性求二重积分 0, 当f(x,y)关于x是奇函数,D关于y轴对称Df(x,y)d= 2D1f(x,y)d,当f(x,y)关于x是偶函数,D关于y轴对称 0, 当f(x,y)关于y是奇函数,D关于x轴对称 2D1f(x,y)d,当f(x,y)关于y是偶函数,D关于x轴对称5. 平面曲线积分曲线弧L方程为y=(x) (x0xx1),则 Lfx,yds=x0x1fx,(x)1+2(x)dx6. 积分应用定积分求平面图
12、形面积直角坐标下,设平面图形由曲线y=f(x),y=g(x)和直线x=a,x=b(a0) ,则数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN ;称以10为底的对数叫做常用对数,记为lgN;以无理数e(e=2.71828)为底的对数称为自然对数,记为lnN。1.4 无穷级数1. 数项级数常数项级数性质:若n=1un收敛,则limnun=0;反之,不一定成立。几何级数n=1aqn-1,当|q|0),当p1时,级数收敛;当0p1时,级数发散2. 正项级数审敛法比较审敛法:设unvn,若级数n=1vn收敛,则级数n=1un收敛;反之发散比值审敛法:若limnun+1un=,当1时级数发散根值审敛法:若l
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