2021概率统计全考点精讲(第三讲 多维随机变量及其分布)考研资料考研资料考研资料考研资料.pdf

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1、 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 1 第三讲第三讲 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 【考试要求考试要求】1.理解多维随机变量的概念（仅数一仅数一），理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布边缘分布和条件分布（数一理解；数三数一理解；数三掌握掌握），理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率.2.理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的独立性与不相关性的关系.3.掌握二维均匀分布，（数一了解；数三掌握数一了解；数三掌握）二维正态分布的概率密度，理解其中参数

2、的概率意义.4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.考点：考点：多维多维随机变量随机变量及其分布及其分布 1.二维随机变量二维随机变量设，是定义在样本空间上的两个随机变量，称向量为二维随机变量二维随机变量.2.联合分布函数的定义联合分布函数的定义设是二维随机变量，对于任意的实数，二元函数 称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量和的联合分布函数联合分布函数.【注注】如果将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数在处的函数值就是随机点落在如图所示的，以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内（含右边界和上边界）的概率.()XX=()YY=),(YX

3、()X,Yx,y()()(,),F x yPXxYyP Xx Yy=()X,YXY()X,Y(,)F x y()x,y()X,Y()x,yyxo),(yx爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 2 3.联合分布函数的性质联合分布函数的性质（1）分别对于变量和是单调不减的.（2）,.（3）分别关于和右连续，即，.（4）随机点落在矩形域上的概率为.【例例 1 1】设二维随机变量()YX,的分布函数为(),F x y，边缘分布函数为()XFx，()YFy，则,P Xx Yy等于（）（A）()1,F x y （B）()()1XYFxFy （C）()()(),1XYF x yFxFy+（D）()

4、()(),1XYF x yFxFy+),(yxFxy1),(0yxF(,)0Fy=(,)0F x =(,)0F =(,)1F+=),(yxFxy(0,)(,)F xyF x y+=(,0)(,)F x yF x y+=()1212,|,x yxxxyyy121222211211,(,)(,)(,)(,)0P xXxyYyF xyF xyF x yF x y=+爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 3 考点：考点：二维二维离散型随机变量离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布的概率分布、边缘分布和条件分布 1.二维二维离散型随机变量离散型随机变量 若二维随机变量全部可能取到的值是有

5、限对或可列无限多对，则称是二维离散型随机变量二维离散型随机变量.2.联合分布律联合分布律（1）定义）定义 设二维离散型随机变量所有可能取的值为，称 为二维离散型随机变量的分布律或随机变量和的联合分布律联合分布律.也可以用表格来表示和的联合分布律联合分布律，如下表所示：Y X （2）性质）性质；.【例例 1 1】袋中有 6 个球，其中 1 个红球，2 个白球，3 个黑球，有放回地从袋中取两次，每次取一球，设分别表示两次取球的红球、黑球的个数，求的分布律.【例例 2 2】已知的分布律为),(YX),(YX),(YX(),1,2,ijx yi j=,1,2,ijijP Xx Yyp i j=),(Y

6、XXYXY1y2yjy1x11p12p1jp2x21p22p2 jpix1 ip2ipijp0ijp 111ijijp=YX,),(YX),(YX爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 4 的分布函数为，则，.3.边缘分布律边缘分布律 若二维离散型随机变量的概率分布为，则分别称，为关于和关于的边缘分布律边缘分布律.【例例 3 3】袋中有 6 个球，其中 1 个红球，2 个白球，3 个黑球，有放回地从袋中取两次，每次取一球，设分别表示两次取球的红球、黑球的个数.求的边缘分布律.【例例 4 4】设随机变量101(1,2)111424iXi=，且12(0)1P XX+=，则12()P XX=

7、（）（A）0 （B）14 （C）12 （D）1 4.条件分布律条件分布律 设二维离散型随机变量的分布律为，(),X Y(),F x y1,1_2F=10,_2P XY=),(YX(),1,2,ijijP Xx Yypi j=,iiijijP XxP Xx Ypp=+=1,2,i=,jjijjiP YyP XYypp=+=1,2,j=),(YXXYYX,),(YX),(YX,ijijP Xx Yyp=(),1,2,i j=0 1 0 1 1/4 1/4 0 1/2 YX爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 5 对于固定的，若，则称 为在的条件下随机变量的条件分布律条件分布律.同理，对于

8、固定的，若，则称 为在的条件下随机变量的条件分布律条件分布律.j()1,2,j=0jP Yy=1 2=ijijijjjP Xx,YypP Xx Yy,i,pP YyjYy=Xi()1,2,i=0iP Xx=1 2=ijijjiiiP Xx,YypP Yy Xx,j,P XxpiXx=Y爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 6 考点：考点：二维二维连续型随机变量连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度的概率密度、边缘密度和条件密度 1.二维连续型随机变量二维连续型随机变量 设二维随机变量),(YX的分布函数为(,)F x y，若存在非负可积函数()f x,y，使得对于任意,x y，

9、有(,)(,)d dxyF x yf u vu v=，则称()X,Y为二二维连续型随机变量维连续型随机变量，称函数()f x,y为二维随机变量()X,Y的概率密度或随机变量X和Y的联合概率密度联合概率密度.2.联合联合概率密度的性质概率密度的性质（1）.（2）.（3）若在点处连续，则.（4）设是平面上的区域，点落在内的概率为.【例例 1 1】设的概率密度为，求：（1）常数的值；（2）.3.边缘概率密度边缘概率密度 若二维连续型随机变量的概率密度为，则分别称 ，为关于和关于的边缘概率密度边缘概率密度.4.条件概率密度条件概率密度 设二维连续型随机变量的概率密度为，关于的边缘概()0f x,y()

10、(,),1f x y dxdyF+=+=(,)f x y()x,y2(,)(,)F x yf x yx y=Gxoy()X,YG(,)(,)GPX YGf x y dxdy=()X,Y(),01,0,Cxxyf x y=其他C1,12P XY),(YX(),f x y()(),Xfxf x y dy+=()(),Yfyf x y dx+=),(YXXY),(YX(),f x y),(YXY爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 7 率密度为.若对于固定的，则称为在的条件下的条件概率密度条件概率密度，记为.类似地，若对于固定的，则称为在条件下的条件概率密度条件概率密度.【例例 2 2】设

11、的概率密度函数为，求：（1）；（2），.【例例 3 3】设随机变量，当给定时，随机变量的条件概率密度为，（1）求和的联合概率密度；（2）求边缘概率密度.()Yfyy()0Yfy()(),Yf x yfyYy=X()()()X|YYfx,yfx|yfy=x()0Xfx()()()Y|XXfx,yfy|xfx=xX=Y),(YX(),0,0,yexyf x y=其他()(),XYfxfy()Y|Xfy|x()X|Yfx|y()0,1XUXx=Y()100Y|Xx,yfy|xx,=其他XY(),f x y()Yfy爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 8 考点：考点：随机变量的独立性随机变

12、量的独立性 1.1.定义定义 设及，分别是二维随机变量的分布函数及边缘分布函数.若对于任意实数，有，则称随机变量和相互独立相互独立.当是离散型随机变量时，和相互独立的充要条件是.当是连续型随机变量时，和相互独立的充要条件是.【注注】证明两个随机变量不独立的方法证明两个随机变量不独立的方法：若存在00,yx，使得 0000,yYPxXPyYxXP，则与不相互独立.2 2.性质性质 若和相互独立，是连续函数，则相互独立.【例例 1 1】设随机变量与独立同分布，且，则下列等式成立的是（）（A）（B）（C）（D）【例例 2 2】设的密度函数为，问和是否独立？(,)F x y()XFx()YFy),(Y

13、X,x y(,)()()XYF x yFx Fy=XY),(YXXY()1 2ijijpppi,j,=),(YXXY()()()()XYf x,yfx fyxR,yR=XYXY()(),g th t()(),g Xh YXY2111=XPXP41=YXP21=YXP410=+YXP411=XYP),(YX(),0,0,yexyf x y=其他XY爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 9 考点：考点：常见二维随机变量的常见二维随机变量的分布分布 1.1.二维均匀分布二维均匀分布 若二维随机变量具有概率密度，其中为平面上的有界区域，的面积为，则称在上服从均匀分布.2 2.二维二维正态正态

14、分布分布 （1）定义定义 若二维随机变量的概率密度（数一了解；数三掌握数一了解；数三掌握）为，其中均为常数，且，则称服从二维正态分布二维正态分布，记为.（2）性质性质 若()()221212X,Y N,;,;，则()211X N,，()222Y N,；和相互独立的充分必要条件是；仍服从正态分布；令+=+=YbXaVYbXaU2211，当02211baba时，()VU,服从二维正态分布.【注】若()211X N,，()222Y N,且独立，则服从二维正态分布，且仍服从正态分布.【例例 1 1】设二维随机变量服从区域上的均匀分布，求.),(YX()()1,0,x yGf x yA=其他GGA),(

15、YXG),(YX()()()()()()221122222211221211exp22 121xxyyf x,y =+,x yR1212,120011,),(YX()()221212X,Y N,;,;XY0=()220aXbY ab+,X Y(),X Y()220aXbY ab+),(YX01,Dxyx=()xyfXY|爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 10 【例例 2 2】设二维随机变量，则.【例例 3 3】（课后作业）（课后作业）设二维随机变量(,)X Y服从二维正态分布()0;1,1;0,1N，则0_.P XYY=()()0 0 11 0X,Y N,;,;0_XPY=爱启航

16、在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 11 考点：考点：二维二维随机变量函数的分布随机变量函数的分布 1.1.YX,均为离散型随机变量均为离散型随机变量 情形一：二维离散型情形一：二维离散型一一维离散型维离散型 即：()=,Z g X Y.做法做法：找出Z全部可能的取值，求出相应的概率.情形二：二维离散型情形二：二维离散型二二维离散型维离散型 即：()()12=,U gX YVgX Y=，(),U V为二维离散型随机变量.做法做法：找出U和V的全部可能取值，画出表格，求出相应的概率.【例例 1 1】设二维随机变量的分布律为 0 1 0 0.4 0.4 1 0.1 0.1 求的分布.【例例

17、2 2】设,是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知的分布律为1(),(1,2,3)3Pii=，又设max,X=，min,Y=.求(,)X Y的联合分布律.2.2.X和和Y，一个离散型随机变量，一个连续型随机变量，一个离散型随机变量，一个连续型随机变量 做法做法：有限可加性或全概率公式【例例 3 3】设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布，且Y的分布律为1(0)(1)2P YP Y=.求的概率密度.3.3.YX,均为连续型随机变量均为连续型随机变量 设二维连续型随机变量的概率密度为.（1）若()=,Z g X Y为离散型随机变量，求Z的分布律.做法做法：找出Z全部可能的取值，求出相应

18、的概率.),(YXYXZXY=+ZXY=+),(YX(,)f x y爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 12 （2）若为连续型随机变量，则随机变量的分布函数为，.进而的概率密度为.（3）四类重要的二维随机变量函数的分布（均是“推广的卷积公式”的特例）（均是“推广的卷积公式”的特例）=Z XY+的分布（和的分布和的分布）设二维连续型随机变量(),X Y的概率密度为(),f x y，则=Z XY+的概率密度为：()()(),Zfzf x zx dxf zy y dy+=.若和相互独立，则有卷积公式卷积公式：()()()()()ZXYXYfzfx fzx dxfzy fy dy+=.=Z

19、 XY的分布（差的分布差的分布）设二维连续型随机变量(),X Y的概率密度为(),f x y，则=Z XY的概率密度为：()()(),Zfzf x xz dxfyz y dy+=+若和相互独立，则有：()()()()()ZXYXYfzfx fxz dxfyz fy dy+=+.=Z XY的分布（积的分布积的分布）设二维连续型随机变量(),X Y的概率密度为(),f x y，则=Z XY的概率密度为：()11,|Zzzfzfxdxfy dyxxyy+=.若和相互独立，则有：()()()11|ZXYXYzzfzfx fdxffy dyxxyy+=.=XZY的分布（商的分布商的分布）设二维连续型随机

20、变量(),X Y的概率密度为(),f x y，则=XZY的概率密度为：()()|,Zfzy fyz y dy+=.若和相互独立，则有：()()()|ZXYfzy fyz fy dy+=.【注注】推广的卷积公式：推广的卷积公式：设随机变量()YX,的概率密度为()yxf,，()YXgZ,=.(,)Zg X Y=(,)Zg X Y=()()(),Zg x yzFzf x y dxdy=zRZ()()ZZfzFz=XYXYXYXY爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 13 （1）若ygxg,存在且连续，且()0,yyxg或()0,yyxg，则随机变量Z的概率密度为()()()()dxzzx

21、hzxhxfzfZ=+,.（由(),zg x y=解得(),yh x z=）（2）若ygxg,存在且连续，且()0,xyxg或()0,xyxg，则随机变量Z的概率密度为()()()()dyzzyhyzyhfzfZ=+,.（由(),zg x y=解得(),xh y z=）【例例 4 4】设二维随机变量服从上的均匀分布，令，求的概率密度.【例例 5 5】设二维随机变量的概率密度为，求的概率密度.4.4.最值的分布最值的分布 设相互独立，它们的分布函数分别是(),1,2,iXFx in=，则 及的分布函数分别为：，.特别地，当相互独立且具有相同分布函数时，有，.【例例 6 6】设随机变量,X Y独立

22、同分布，且X的分布函数为()F x，则(),X Y10,10=yxD|YXZ=Z(),X Y()2,01,01,0,xyxyf x y=其他ZXY=+12,nX XX12max,nMX XX=12min,nNX XX=()12max()()()nXXXFzFz FzFz=()12min11()1()1()nXXXFzFzFzFz=12,nX XX()F x()max()nFzF z=()min11()nFzF z=爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 14 max,ZX Y=的分布函数为（）（A）2()Fx （B）()()F x F y （C）21 1()F x （D）1()1()F xF y.【例例 7 7】设随机变量X与Y相互独立，且均服从参数为 1 的指数分布，),min(YXV=.求V的概率密度()vfV.爱启航在线考研