2021概率统计全考点精讲(第四讲 随机变量的数字特征)考研资料考研资料考研资料考研资料.pdf

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1、 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 1 第第四四讲讲 随机变量的数字特征随机变量的数字特征【考试要求考试要求】1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征.2.会求随机变量函数的数学期望.考点：考点：数学期望数学期望 1.1.数学期望的数学期望的定义定义（1）离散型离散型 设X的分布律为()1 2iiP Xxp i,=，若1iiix p=绝对收敛，则称1iiix p=为X的数学期望或均值，记为()E X或EX，即()1iiiE Xx p=.（2）连续型连续型 设X的概率密度为()f x，若()xf x dx+绝

2、对收敛，则称()xf x dx+为随机变量X的数学期望，记为()E X或EX，即()()E Xxf x dx+=.【例例 1 1】设随机变量的概率密度为，且，则 2 2.数学期望的性质数学期望的性质（1）()CCE=，其中C为常数.（2），其中为常数.（3），.（4）若随机变量YX,相互独立，则，反之不对反之不对.X(),010,abxxf x+=其他712EX=_,_.ab=()()XCECXE=C()()()YEXEYXE+=+()()()YEXEYXE=()()()YEXEXYE=爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 2 一般地，若1nX,X相互独立，则()()()11nnE

3、XXE XE X=.【注】独立，不相关.3 3.随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 （1）一维随机变量函数的期望一维随机变量函数的期望 设Y是随机变量X的函数，即()Yg X=，其中g是连续函数.设X是离散型随机变量，其分布律为()1 2iiP Xxp i,=，若()1iiig xp=绝对收敛，则()()()1iiiE YE g Xg xp=.设X是连续型随机变量，其概率密度为()f x，若()()g x f x dx+绝对收敛，则()()()()E YE g Xg x f x dx+=.【例例 2 2】设X服从标准正态分布()01N,，则()2e_.XE X=（2）二维随机变量函数

4、的期望维随机变量函数的期望 设Z是二维随机变量(),X Y的函数，即(),Zg X Y=，其中g是连续函数.设(),X Y为离散型随机变量，其分布律为ijijP Xx,Yyp=,1 2i,j,=若()11ijijjig x,yp=绝对收敛，则()()()11ijijijE ZE g X,Yg x,yp=.设(),X Y为连续型随机变量，其概率密度为()f x,y，若()()g x,y f x,y dxdy+绝对收敛，则()()()E Zdxg x,y f x,y dy+=.()()(),E XYE X E YX Y=()()(),E XYE X E YX Y=爱启航在线考研 概率统计全考点精讲

5、 张张 卫卫 3 【例例 3 3】设随机变量的分布律为 1 2 3 0.2 0.1 0 0 0.1 0 0.3 1 0.1 0.1 0.1 求：（1）；（2）令，求.【例例 4 4】设二维随机变量的概率密度为：，求.(),X YXY1()XYE()2WXY=()E W(),X Y()=其他,010,3,xyxyxf()XYE爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 4 考点：考点：方差方差 1.1.定义定义：设X是一个随机变量，若()2EXE X存在，则称之为X的方差，记为()D X，即()()2D XEXE X=.称()D X为随机变量X的标准差或均方差，记为()X.【注】【注】方差的

6、计算公式方差的计算公式：()()()22D XE XEX=.【例【例 1】设随机变量X的概率密度为()1,101,01 0 ,xxf xxx+=其他，则_=DX.2 2.方差的性质方差的性质 （1）()0D C=，其中C为常数.（2）()()2D CXC D X=，()()D XCD X+=,其中C为常数.（3）设是两个随机变量，则有 .特别地，若相互独立，则有.【注】【注】.若不相关，则有()()()D XYD XD Y=+.（4）的充分必要条件是以概率 1 取常数，即.【例【例 2】设的方差存在，且，则YX,()()()()()2D XYD XD YEXE XYE Y+=+YX,()()(

7、)D XYD XD Y+=+()()()2Cov(,)D XYD XD YX Y=+YX,()0D X=X()E X()1P XE X=X()0D X()()XE XYD X=爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 5 ，.3 3.常常见见分布分布的期望的期望和和方差方差 （1）0-1 分布：分布：，则.（2）二项分布：二项分布：，则.（3）几何分布：几何分布：，则.（4）泊松分布：泊松分布：，则.（5）均匀分布：均匀分布：，则.（6）指数分布：指数分布：，则.（7）正态分布：正态分布：，则.【例【例 3】设随机变量相互独立，其中在上服从均匀分布，服从正态分布，服从参数的指数分布，服从

8、参数为的（0-1）分布.记，则.【例【例 4】（课后作业课后作业）设随机变量均服从上的均匀分布且相互独立，而，.求：（1）；（2）.()_E Y=()_D Y=()1X B,p()()()1E Xp,D Xpp=()X B n,p()()()1E Xnp,D Xnpp=()X G p()()211ppXDpXE=，()X P()()E XD X=()X U a,b()()()2212baabE X,D X+=()X E()()211E X,D X=()2X N,()()2E X,D X=1234,X XXX1X0,62X()20,2N3X3=4X15123423YXXXX=+()_D Y=12

9、,XX()0,1()12max,XXX=()12min,YXX=()()()(),E XE YD XD Y()E XY+爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 6 考点：考点：协方差协方差、相关系数相关系数与与矩矩 1.1.协方差的定义协方差的定义 称()()EXE XYE Y为随机变量X与Y的协方差协方差，记为()Cov X,Y，即()()()Cov X,YEXE XYE Y=.【注注】协方差协方差的的计算公式计算公式：()()()()Cov X,YE XYE X E Y=.【例例 1 1】设随机变量的分布律为 0 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.2

10、0 则()22Cov=_X,Y.【例例 2 2】（课后作业课后作业）设二维随机变量()YX,的概率密度为()801 0 xy,yxf x,y,=其他，求()Cov X,Y.2.2.相关系数相关系数的定义的定义 称()()()CovXYX,YD XD Y=为随机变量X与Y的相关系数相关系数.当0XY=时，称X与Y不相关不相关；当0XY时，称X与Y是相关的.【注】【注】独立和不相关的关系：（1）独立不相关；反之不一定成立.（2）若相关，则一定不独立.（3）若()();,;,222121NYX，则不相关独立.()X,YYX1,X Y,X Y,X Y,X Y,X Y,X Y爱启航在线考研 概率统计全考

11、点精讲 张张 卫卫 7 【例例 3 3】设随机变量具有概率密度，问和是否不相关？3.3.协方差协方差和相关系数的性质和相关系数的性质 （1）()()Cov X,YCov Y,X=；（2）()()Cov X,XD X=；（3）()()()1212Cov XX,YCov X,YCov X,Y+=+；（4）()()Cov aXc,bYdabCov X,Y+=，其中a,b,c,d为常数；（5）XYYX=；（6）1XY；（7）1XY=的充要条件是存在常数,a b且0a，使得1P YaXb=+=；1XY=的充要条件是存在常数,a b且0a，使得1P YaXb=+=.【例例 4 4】将一枚硬币重复掷n次，以

12、X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于（）（A）1 （B）0 （C）21 （D）1【例例 5 5】设YX,为两个随机变量，1=EYEX，9=DX，1=DY，且32=XY，则()._322=+YXE 4 4.矩矩 X的k阶原点矩（简称k阶矩）：()1 2kE X,k,=；X的k阶中心矩：()2 3kEXE X,k,=；X和Y的kl+阶混合矩：()1 2klE X Y,k,l,=；()X,Y()1,01,0,yxxf x y=其他XY爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 8 X和Y的kl+阶混合中心矩：()()1 2klEXE XYE Y,k,l,=爱启航在线考研