2021概率统计全考点精讲(第六讲 数理统计的基本概念)考研资料考研资料考研资料考研资料.pdf

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1、 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 1 第第六六讲讲 数理统计数理统计的的基本概念基本概念【考试要求考试要求】1.（数一理解，数三了解）（数一理解，数三了解）理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为=niiXXnS122)(11.2.了解2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解标准正态分布、2分布、t分布和F分布的上侧分位数的概念并会查表计算.3.（数一了解，数三掌握）（数一了解，数三掌握）正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布.4.（仅数三仅数三）了解经验分布函数的概念和性质.考点：考点：总体、总体、个体个体和和简单随机样本简单随机样本 1.

2、1.总体总体：所研究对象的某项数量指标取值的全体称为总体，用X表示.2.2.个体个体：总体中的每个元素称为个体.3.3.简单随机样本简单随机样本（样本）：若nXXX,21相互独立且与总体同分布，则称nXXX,21为来自总体X的容量为n的简单随机样本，简称为样本，它们的观察值nxxx,21称为样本值.【注】样本具有二重性，抽样前是随机变量，抽样后是一组数据.4.4.样本的联合分布函数样本的联合分布函数 设nXXX,21为来自总体X的一个样本，则nXXX,21独立同分布，若设它们的分布函数为()F x，则nXXX,21的联合分布函数为：()()121,nniiF x xxF x=.（1）若连续型总

3、体X的概率密度为()fx，则nXXX,21的联合概率 密度为：()()121,nniif x xxf x=.爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 2 （2）若离散型总体X的分布律为,1,2,iiP Xxp i=，则nXXX,21的联合分布律为：112211,nnnniiiiiP Xx XxXxP Xxp=.爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 3 考点：考点：统计量统计量 1.1.统计量的定义统计量的定义：设nXXX,21是来自总体X的一个样本，),(21nXXXg是nXXX,21的函数，若g中不含未知参数，则称),(21nXXXg是一个统计量统计量.2 2.常用统计量常用

4、统计量 设nXXX,21是来自总体X的一个样本.（1）样本均值样本均值：=niiXnX11；（2）样本方差样本方差：22221111()11nniiiiSXXXnXnn=；（3）样本标准差样本标准差：=niiXXnSS122)(11；（4）样本样本k阶原点矩阶原点矩：=nikikkXnA1,2,1,1；（5）样本样本k阶中心矩阶中心矩：=nikikkXXnB1,3,2,)(1.3 3.常用统计量的数字特征常用统计量的数字特征 设总体X的数学期望=)(XE，方差2)(=XD，nXXX,21是来自总体X的一个样本，则=)(XE，nXD2)(=，22)(=SE.【注注】上述结论对于任意分布均成立.【

5、例例 1 1】设为来自总体的简单随机样本，定义统计量，求ET和DT.【例例 2 2】设12,nXXX为来自总体(,)B m p的样本，则12nX,X,X()1X E=niiXnT121爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 4 ()21_niiEXX=.4 4.经验分布函数（仅数三经验分布函数（仅数三 从未从未考过考过）设nxxx,21为样本nXXX,21的观察值，按从小到大的顺序排列为：(1)(2)()nxxx.对于任意实数x，则称函数()12(1)()(1)()1,0 =,1,2,11 nnkknFxx xxxnxxkxxxknnxx+=中小于等于 的样本值个数，为经验分布函数（或

6、样本分布函数）.【注注】经验分布函数依概率一致收敛与分布函数()F x.爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 5 考点：考点：三大三大抽样分布抽样分布 1.分布分布（1）定义 设是来自总体的一个样本，则称 服从自由度为的分布，记为.（2）性质 设，且相互独立，则，即分布具有可加性可加性.若，则.【注注】分布的可加性指的是：相互独立且服从同类型分布的随机变量，其和的分布也是同类型的.具有可加性的几个分布是：设随机变量X和Y相互独立，若()(),XB n pYB m p，则(),XYB nm p+；（两者p相同）若()()12,XPYP，则()12XYP+；若()()221122,XNY

7、N ，则()221212,XYN+；若，则.【例例 1 1】设是来自正态总体的简单随机样本，则当时，统计量服从分布.212nX,X,X()0 1X N,22222121niniXXXX=+n2()22n)(),(22nYmXYX,)(2nmYX+2()22n()()222En,Dn=)(),(22nYmX)(2nmYX+1234X,X,X,X()0 4N,()()221234234Xa XXbXX=+a_,b_=X()22爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 6 2.分布分布（1）定义 设，且与独立，则称服从自由度为的 分布，记为.分布又称学生氏分布.（2）性质 分布的概率密度是个偶

8、函数.【例例 2 2】设随机变量和相互独立，且均服从，而和分别是来自总体和的简单随机样本，则统计量服从分布，参数为.3.分布分布（1）定义 设，且相互独立，则称服从自由度为的分布，记为.（2）性质 若，则.若，则.【例例 3 3】设总体()22,0 NX，3021,XXX为来自总体X简单随机样本，则统计量230222221220222121XXXXXXU+=所服从的分布为_.t()0 1X N,()2Y nXYXTY/n=nt()T t nttXY()23,0N91,XX 91,YY XY292191YYXXU+=_F()21U n()22V nU,V12U/nFV/n=()12n,nF()1

9、2F F n,n()12F F n,n()211 F n,nF()T t n()21T F,n爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 7 考点：考点：分位分位数数 1.分布上分布上分位点分位点 设随机变量，对于任意给定的，称满足条件 的点为分布的上分位点.2.分布上分布上分位点分位点 设随机变量，对于任意给定的，称满足条件的点为分布的上分位点.3.分布上分布上分位点分位点 设随机变量，对于任意给定的，称满足条件 的点为分布的上分位点.2()2Y n01()2P Yn=()2n()2nt()T t n01()P Ttn=()tn()t nF()12F F n,n01()12P FFn,n

10、=()12Fn,n()12F n,n 2()n 2()n 1-1-爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 8 【注注】（了解了解）112211(,)(,)Fn nF n n=.4.(0,1)N的的上上分位点分位点 设(0,1)XN，如果u满足条件,01P Xu=，则称u为标准正态分布的上分位点.易知，()1u=.【例例 1 1】设随机变量服从正态分布对给定的,数满足,若,则等于（）（A）（B）（C）（D）【例例 2 2】设随机变量()Xt n，定义()0P Xtn=，假设=xXP，则=x（）（A）()nt2 （B）()nt21 （C）()nt21 （D）()nt1 X(0,1),N)1

11、0(u=uXP=xXPx2u21u21u1u 12(,)Fn n 12(,)Fn n 爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 9 考点：考点：正态总体正态总体的的常用常用抽样分布抽样分布 1.单个正态总体单个正态总体 设是来自总体的一个样本，分别是样本均值和样本方差，则有（1）2(,)XNn，或(0,1)/XNn；（2）X与2S相互独立；（3）()222221(1)1(1)niinSXXn=；（4）22211()()niiXn=；（5）(1)/Xt nSn；（6）422()1D Sn=.【例例 1 1】设)2(,21nXXXn为来自总体()0,1XN的简单随机样本，X为样本均值，2S为

12、样本方差，则（）（A）)1,0(NXn （B）22()nSn （C）)1()1(ntSXn （D）2122(1)(1,1)niinXFnX=【例例 2 2】设总体()2,XN，1021,XXX为来自X的简单随机样本，2S为样本方差，则._22=SD 12nX,X,X()2X N,X2S爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 10 2.两个正态总体两个正态总体（从未考过（从未考过）总体，是来自总体的样本，样本均值为，样本方差；总体，是来自总体的样本，样本均值为，样本方差，且与相互独立，则有（1）.（2）当时，.（3）当时，其中，.()211X N,112nX,X,XXX21S()222Y N,212nY,Y,YYY22S112nX,X,X212nY,Y,Y()221212221211S/S F n,n/22212=()()()2211222122112nSnSnn+22212=()()()121212211wXY t nnSnn+()()221122212112wnSnSSnn+=+2wwSS=爱启航在线考研