2021概率统计全考点精讲(第一讲 随机事件与概率)考研资料考研资料考研资料考研资料.pdf

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1、 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 1 第一讲第一讲 随机事件与概率随机事件与概率【考试要求考试要求】1.了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算.2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式.3.理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.考点：样本空间与随机事件考点：样本空间与随机事件 1.随机试验随机试验 若试验满足：（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个

2、，并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前，不能确定哪一个结果会出现，则称该试验为随机试验随机试验，常用字母E或12E,E,表示.2.样本空间样本空间 随机试验E的所有可能发生的基本结果组成的集合称为样本空间样本空间，记为.3.样本点样本点 样本空间的元素，即E的每一个结果，称为样本点样本点，记为.4.随机事件随机事件 样本空间的子集称为随机事件随机事件，简称事件，用A,B,C等表示.在每次试验中，当且仅当这一子集中的样本点出现时，称这一事件发生发生.特别地，由一个样本点组成的单点集称为基本事件基本事件.样本空间是自身的子集，在每次试验中一定会发生，称其为必然事件必然事件.是样

3、本空间的子集，在每次试验中都不发生，称其为不可能事件不可能事件.爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 2 考点：事件的关系与运算考点：事件的关系与运算 1.事件的运算事件的运算（1）和事件和事件：BA,中至少有一个发生的事件称为A与B的和事件，记为AB（或BA+）.类似地，称1nkkA=为n个事件12nA,A,A的和事件；称1kkA=为可列个事件12A,A,的和事件.（2）积事件积事件：BA,同时发生的事件称为A与B的积事件，记为AB（或AB）.类似地，称1nkkA=为n个事件12nA,A,A的积事件；称1kkA=为可列个事件12A,A,的积事件.（3）差事件差事件：A发生而B不发生

4、的事件称为A与B的差事件，记为BA.2.事件的关系事件的关系（1）包含包含：若A发生必导致B发生，则称事件B包含事件A，记为AB.（2）相等相等：若AB且BA，则称A与B相等，记为AB=.（3）互斥互斥：若BA,不能同时发生，即AB=，则称BA,互斥互斥（或互不相容互不相容）.（4）对立对立：若,A B中有且仅有一个发生，即=+BA且AB=，则称事件A与B互为逆事件逆事件（或对立事件对立事件）.（5）完备事件组完备事件组：设随机试验E的样本空间为，12,nA AA为E的一组事件，若满足();,1,2,ijAAij i jn=，且1niiA=，则称12,nA AA为样本空间的一个划分划分，或称为

5、一个完备事件组完备事件组.3.事件的运算律事件的运算律（1）交换律交换律：ABBA=，ABBA=.（2）结合律结合律：()()ABCABC=，()()AB CA BC=.（3）分配律分配律：()()()ABCACBC=，()()()ABCACBC=.（4）吸收律吸收律：,ABABA ABB=.（5）对偶律对偶律（De Morgan 律）：,ABAB ABAB=.爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 3 【注】常用事件运算的结论：【注】常用事件运算的结论：（1）()AABABB；（2）ABABAABBABBA=；（3）ABABAAB=；（4）()AABABABAB=+=+；（5）()(

6、)ABABBBAA+=+=+.（6）ABCAABAB C=+.【例【例 1】设CBA,表示三个事件，用CBA,的运算关系表示下列各事件.（1）三个事件都发生；（2）三个事件不都发生（不同时发生）；（3）三个事件不多于一个发生；（4）三个事件至少有一个发生.【例【例 2】设,A B为随机事件且满足ABAB=，则（）（A）AB=（B）AB=（C）ABA=（D）ABB=爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 4 考点：考点：概率的定义与性质概率的定义与性质 1.概率的公理化定义概率的公理化定义设试验E的样本空间为，若对于E的任意一个事件A都有一个实数()P A与之对应，且()P A满足下列条

7、件：（1）非负性非负性：()0P A；（2）规范性规范性：()1P =；（3）可列可加性可列可加性：若(),1,2,ijAAij i j=，则()11iiiiPAP A=，则称实数()P A为事件A的概率.2.2.概率的性质概率的性质（1）不可能事件的概率为零，即不可能事件的概率为零，即()0=P.（2）（有界性）对于（有界性）对于任意事件任意事件A，有，有()01P A.（3）（有限可加性）（有限可加性）设事件nAAA,21两两互斥，则.（4）（求逆公式）（求逆公式）对于任意事件A，有()()1P AP A=.（5）（单调性）（单调性）若AB，则()()P AP B.【例例 1 1】设BA,

8、为两个随机事件，则()()()()_PABABABAB+=.【例例 2 2】有 16 件产品，12 件一等品，4 件二等品.从中任取 3 个，至少有一件是一等品的概率为._【例例 3 3】若,A B为任意两个随机事件，则（）（A）()()()P ABP A P B（B）()()()P ABP A P B=nkknkkAPAP11)()(爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 5（C）()()()2P AP BP AB+（D）()()()2P AP BP AB+【例例 4 4】设事件A和B互不相容，则（）.（A）()0P A B=（B）()()()P ABP A P B=（C）()()1

9、P AP B=（D）()1P AB=爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 6 考点考点：古典型概率与几何型概率：古典型概率与几何型概率 1.1.古典概型古典概型若试验E的样本空间只包含有限个基本事件，且在每次试验中各基本事件发生的可能性相等，则称该试验为古典概型.若样本空间由n个基本事件构成，事件A包含k个基本事件，则()kP An=.【例【例 1】一口袋中有 10 颗球，其中 4 颗白球、6 颗红球.从袋中取出 4 个球.考虑三种取球方式：（a）先后放回；（b）先后不放回（c）任取（一次性取出）.（1）对（b），（c）两种取球方式，计算取到 2 颗白球，2 颗红球的概率；（2）对（

10、b）这种取球方式，计算取到的第 4 颗球为白球概率.【例例 2 2】（课后作业课后作业）设袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回地取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球都取到时停止，求取球次数恰好为 4 的概率.2.2.几何概型几何概型若试验E的样本空间为某一可度量的有界区域D（如坐标轴上的区间，平面上或空间中的区域等），向该区域内随机投掷一点，如果该点必落在D内且落在D内任何两个度量（如长度、面积或体积等）相等的子区域内的可能性相等，则称该试验为几何概型.随机点落在D的子区域A内的概率()的度量的度量DAAP=.【例例 3】若在区间()0,1随机地取两个数,u v，则关于x的一元二次方程2

11、20 xvxu+=有实根的概率是_.【例例 4 4】（课后作业课后作业）在区间10,2和1,12内各取一个数，则两个数之和不小于56的概率为_.爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 7 考点：考点：条件概率条件概率 1.1.定义定义 设,A B是两个事件，若()0P A，则称()()()P ABP B AP A=为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率条件概率.【例【例 1 1】设BA,为两个随机事件，且()41=AP，()31|=ABP，()21|=BAP，则()._=BP 【例【例 2 2】10 件产品中 4 件为次品，6 件为正品，现抽取 2 件产品.（1）求第一件为正品，第

12、二件为次品的概率；（2）在第一件为正品的情况下，求第二件为次品的概率；爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 8 考点：考点：概率的五大公式概率的五大公式 1.减法公式减法公式 对于任意两事件BA,，有()()()P ABP AP AB=.2.加法公式加法公式 对于任意两事件BA,，有)()()()(ABPBPAPBAP+=+.对于任意三个事件,A B C，有()()()()()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC=+【注注】（从未考过从未考过）一般地，对于n个事件nAAA,21，有()()()()()11211111nnnnniiijijknii

13、ij nij k nPAP AP AAP AA AP A AA=+3.乘法公式乘法公式 对于事件,A B，若()0P A，则有()()()P ABP B A P A=.4.全概率公式全概率公式 若事件nAAA,21是样本空间的完备事件组，且()()01,2,iP Ain=，则对于事件B，有=niiiABPAPBP1)|()()(.5.贝叶斯公式贝叶斯公式 若事件nAAA,21是样本空间的完备事件组，且()0P B，()0iP A()1,2,in=，则()()()()11,2,()(|)iiinjjjP A P B AP A BinP A P B A=称为贝叶斯公式贝叶斯公式.【例【例 1 1】

14、设CBA,是随机事件，CA,互不相容，()21=ABP，()31=CP，则()._=CABP【例【例 2 2】设BA,为随机事件，且()()0,1P BP A B=，则必有（）（A）()()P ABP A（B）()()P ABP B（C）()()P ABP A=（D）()()P ABP B=爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 9 【例【例 3 3】设()()()41=CPBPAP，()0=ABP，()()81=BCPACP，则CBA,都不发生的概率为_.【例例 4 4】一个袋子中共有 10 个球，其中黑球 3 个，白球 7 个，现从袋中先后任取一球（不放回）.（1）求第二次取到黑球

15、的概率；（2）若已知第二次取到的是黑球，试求第一次也取到黑球的概率.【例例 5 5】（课后作业课后作业）设工厂A和工厂B产品的次品率分别为1%和2%，现从由A厂和B厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A厂生产的概率为_.【例例 6 6】（课后作业课后作业）第一个盒子中有 3 个白球 2 个黑球，第二个盒子中有 4个白球 4 个黑球.现从第一个盒子中任取 2 个球放入第二个盒子，然后从第二个盒子中任取一球.（1）求取出的球是白球的概率；（2）若已知从第二个盒子中取出的是白球，求从第一个盒子中取出的是一白一黑的概率.爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张

16、卫卫 10 考点：考点：事件的独立性事件的独立性 1.1.两个事件相互独立两个事件相互独立：若事件A和B满足()()()P ABP A P B=，则称事件,A B相互独立相互独立，简称,A B独立.2.2.三个事件相互独立三个事件相互独立：设,A B C是三个事件，若满足()()()()()()()()()()()()()P ABP A P BP BCP B P CP ACP A P CP ABCP A P B P C=，则称事件,A B C相互独立相互独立.【注注】（了解）n个事件个事件的的相互独立相互独立：设12,nA AA是n个事件，如果对任意的121kiiin，(1)kn具有等式()(

17、)()()1212kkiiiiiiP A AAP AP AP A=，则称n个事件12,nA AA相互独立.3.3.独立的性质独立的性质 （1）A和B独立A和B独立A和B独立A和B独立.（2）若()0P A=或()1P A=，则A与任何事件B相互独立.（3）若事件1212,mnA AAB BB相互独立，则()12,mA AA与()12,nB BB相互独立.（4）,A B“互斥”与“相互独立”没有任何蕴含关系.但是当()0P A，()0P B，则“,A B互斥”与“,A B相互独立”不能同时发生.【例例 1 1】设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为91，A发生B不发爱启航在线考研 概率统计全

18、考点精讲 张张 卫卫 11 生的概率与A不发生B发生的概率相等，则()._=AP【例例 2 2】设CBA,为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则BA与C相互独立的充分必要条件是（）（A）A与B相互独立 （B）A与B互不相容（C）AB与C相互独立 （D）AB与C互不相容【例例 3 3】一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面时染上红、白、黑三种颜色.现设事件CBA,分别表示投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下，问事件CBA,是否相互独立？爱启航在线考研 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 12 考点：考点：独立重复试验独立重复试验 1.1.伯努利试验

19、伯努利试验：设随机试验E只有两个可能结果A和A，且()()01P App=，则称这一试验为伯努利试验.2.2.n重伯努利试验重伯努利试验 若随机试验满足：每次试验是相互独立的；n次试验是重复进行的，即每次A发生的概率()(01)P App=均相同；每次试验只有两个结果：A和A，则称这一试验为n重伯努利试验重伯努利试验.【注注】在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率为()1n kkknC pp,0,1,kn=.【例【例 1 1】某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为()01pp，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为（）（A）23(1)pp （B）26(1)pp（C）223(1)pp （D）226(1)pp 爱启航在线考研