点集拓扑讲义- 熊金城.pdf

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1、普通高等教育“十一五”国家级规划教材点集拓扑讲义Dianjituopu Jiangyi第四版熊金城编着高笔数言服:北京内容提要本书讲述点集拓扑的基本知识,其基本内容涵盖:拓扑空间和连续映射的定义及其基本性质;构造新的拓扑空间的方法;各种拓扑不变性质如连通性、分离性、紧致性、度量空间的完备性等,以及这些拓扑不变性质之间的相互关联;这些拓扑不变性质的可积、可遗传等性质;映射空间及其各种基本的拓扑;最后一章介绍基本群以及它的一些应用,如 Jordan分割定理等。本次重版,对全书内容作了适当的增删和整理。本书可作为数学类专业拓扑学课程的教材或教学参考书。图书在版编目(CIP)数据点集拓扑讲义/熊金城编

2、.-4版.一北京:高等教育出版社,2011.6ISBN978-7-04-032237-8点.熊.拓扑空间-高等学校一教材V.o89.11中国版本图书馆CIP数据核字(2011)第121750号策划编辑李蕊责仼编辑田玲封面设计张雨微版式设计马敬茹插图绘制郝林责任校对金辉责任印制韩刚出版发行高等教育出版社网址hlp:/社址北京市西城区德外大街4号http:/邮政编码100120网上订购ht:/印刷高等教育出版社印刷厂http:/开本85011681/32印张10.25版次1981年10月第1版字数2600002011年6月第4版购书热线010-58581118印次2011年11月第2次印刷咨询电话

3、400-810-0598定价19.60元本书如有缺页、倒页、脱页等质量问题,请到所购图书销售部门联系调换版权所有侵权必究物料号32237-00第四版前言这本书从出版至今,已经经历三十个春秋了。与三十年前相比,国内点集拓扑课程的教学状况已经有了很大的不同。主要是许多院校不仅早已有了开设这门课程的条件,而且有了丰富的教学经验。在这种情形下,在前几版中为了回避教学中某些难点过早出现而做的特别安排似乎再无必要。因此,我们对内容的编排进行了梳理。具体地说,我们不再将依赖于选择公理的部分分割出来放在后面,而是按照学科本身的需要予以适当处理。在本书的第三版中,我们介绍了一些集合论方面的知识其中部分与点集拓扑

4、课程的主题关系不大,我们在第四版中删除了在这一版中,我们对基本群一章作了某些充实,主要是补充了某些有意思的应用,例如给出了代数基本定理的证明等。釆用本书作为教材的老师们完全可以按照课时和生源的具体情形对本书内容作出自己的取舍。一个最为精简的教学安排是采用前七章(学时过分紧张的情形下,可以删除这七章中一切涉及不可数无限的内容,它们是1.8,3.3,6.5,7.7和7.8以及定理4.3.2,定理5.1.8等),如果学时稍微充分一点,则建议加入第十章。然后再依次考虑加入第八章和第九章中国科学技术大学邵松教授、广州大学汪火云教授、华南师范大学吕杰教授、谭枫副教授无私地为我们提供了他们讲授点集拓扑课程的

5、宝贵教学经验,认真而细致地指出了旧版中的缺失。吕杰教授、汪火云教授、谭枫副教授和擎庆学院的符和满博士对这个版本的校样作了认真细致的校阅。以上诸位的贡献,使得本书质量得以改善,编者于此表示诚挚的感谢。第四版前言编者还要感谢高等教育出版社李蕊、田玲两位编辑。她们认真细致的编辑工作使得本书文字差错得以减少,数学公式排印效果得以改善。她们与编者通力合作的专业工作态度令我印象深刻。编者2011年春于华南师范大学第三版前言本书这次重版主要作了以下方面修订第一,我们历来就觉得在大学的拓扑学课程中,应当给学生们介绍一点代数拓扑知识。目前大多数院校都不开专门的代数拓扑课程,为了做到这一点,只有在点集拓扑课程中添

6、加有关章节了。这次,我们将基本群及其应用作为独立的一章,添加到这本讲义之中。在这一章中我们引入了空间的基本群,计算了一些简单空间的基本群,并且还给出了两个重要的应用:2维 Brouwer不动点定理和 Jordan分割定理的证明,通过最短的篇幅向读者显示代数拓扑方法理论的精妙和应用的广泛,以期吸引读者进步研究学习拓扑学的兴趣。第二,朴素集合论中等价于选择公理的一些命题,如 Tukey引理、 Zermelo假定、Zor引理、良序原则等为高等数学的许多课程所需要,然而没有一个课程对此作系统的介绍。集合论和点集拓扑的关系相对说来比较密切,因此我们这次重版在书中重新组织了一章“朴素集合论(续)”。这一章

7、与原来的一章“朴素集合论”共同构成了介绍朴素集合论的一个比较完整的材料。第三,对于原来的内容作了一次全面的校订,同时也改写了部分内容对于组织教学,我们作如下的建议第一,本讲义的第I卷是点集拓扑这一学科最为基础的知识。就我国大部分高校的实际情况而言,一学期的课程(周学时4)教完这些内容,应当是最基本的要求,也是完全可能的。第二,第卷是为那些对点集拓扑要求较高的院校(或专业)准备的。对于打算将来进一步学习与数学分析或几何拓扑相第三版前言关学科的学生,这一篇中的内容也是基本的,可以作为教材,也可以作为这些学生自学的阅读材料。第三,第卷第一章“朴素集合论(续)”中的第二节和第节,完全是为了介绍朴素集合

8、论的完整性而编写的,本书的其他部分与这些内容没有逻辑关联。因此它们可以只作为有兴趣者的阅读材料。本书编写过程中,编者得到了国家自然科学基金(10171034)的资助,特此鸣谢。编者2003年秋于华南师范大学第二版前言为本书的重版,编者在保持原书基本结构不变的前提下对其进行了全面的修订。一方面订正了原书中的某些错误并使细节更为合理,另一方面也作了一些涉及全局性的变更。后者特别包括以下几个方面第一,在材料的安排方面的变动。(1)将初版第一章中关于子空间和(有限)积空间的两节和第八章中关于商空间的一节组织为新版的第二章。这是因为,来这几节有一个共同的特征,它们都是讨论如何通过已知的拓扑空间构造新的拓

9、扑空间;二来商空间的概念是一个基本概念,提到前面来讲授可以避免在某种情形下由于课时的不足而被遗漏。(2)将初版中讨论度量空间完备性的附录列为独立的一章。这样做的原因在于点集拓扑学中这部分内容的重要性,应优先于安排在后面的两章。(3)对于完备度量空间和映射空间两部分内容进行了少量的增补。新版中的第一章仍然是关于集合的预备知识。熟悉朴素集合论的读者完全可以只是浏览一下以习惯尔后用到的术语。第二章和第三章是全书的理论基础。第四章至第七章讨论几个最为重要的拓扑性质。因此,第二章至第七章是点集拓扑学中的核心内容,在任何情形下都是应当授完的。我们以为在一般的情形下至少应当授完第八章。至于第九章和第十章,它

10、们当然也都是点集拓扑学中的基本内容,但在课时实在不足时,可以考虑适当割舍。第二,读者在学习一门新的近代数学课程的时候,往往会对新概念的引进感到突兀,并且也常因此而引起某种程度的不适第二版前言应。对于学习像拓扑学这种抽象的课程,情形更是如此。因此,在全书中加强了新概念引入前的铺垫,特别是加强阐述新概念与读者已经掌握的数学知识的联系,以使读者意识到引进这些概念的必要性和自然性。第三,在专业词汇和数学符号的使用方面进行了全面的修订,以求尽量符合1993年全国自然科学名词审定委员会公布的数学名词和关于数学符号的国家标准(GB3102.11-93)。同时,对于个别的词汇和符号也作了一点变通的处理,例如:

11、(1)对于个别未被数学名词收入的常用词,尽量避免使用,但依旧向读者介绍。仍然将“成员”列为“元素”的同义词便是一例。(2)集合A的内部和闭包分别记作A和A。为了与集合的内部运算,闭包运算等符号相协调,我们在大多数场合下使用A表示集合A的余集,按照国标中规定它本应当记作A。后一种记法我们在相应的定义中作了介绍。在前后三年从事此书修订工作期间,编者先后在中国科学技术大学和华南师范大学工作,这两个单位为之提供了讲授此书的机会和必要的工作条件。编者的科研工作一直得到国家自然科学基金委员会的资助,这也是修订工作得以顺利进行的一个重要的条件。中国科学技术大学叶向东教授,华南师范大学左再思教授、黄锦能教授和

12、沈文淮教授将他们多年讲授此书的宝贵经验无保留地提供给编者作为修订此书的参考。淮北煤炭师范学院宋万干老师帮助校对了手稿。此外,特别要提到的是高等教育出版社文小西先生对于此书作了十分认真细致的审校,特别是他对于专业名词和标准符号的使用方面提供了大量中肯的意见。对于以上提到的单位和个人,编者于此表示衷心的感谢。编者1997年春于华南师范大学第一版编者的话为了教学的需要,编写了这个讲义作为点集拓扑课程的教材。讲述点集拓扑学,通常有两种安排材料的方式:一是先系统地介绍度量空间,然后以此为模式建立拓扑空间的理论;另一是径直讨论拓扑空间,然后另辟章节论述度量空间。前一方式初学者较易接受,但不可避免地会带来大

13、量的重复;后一方式可以安排得十分紧凑,但由于过于抽象读者不易体会背景。本书中我们试用介于两者之间的做法:以拓扑空间的理论为纲,而将对度量空间的讨论归入相应的章节,并且在每一处尽可能借助度量空间以及欧氏空间的直观,用以启发拓扑概念;也尽可能将对拓扑空间的讨论随时应用于度量空间和欧氏空间,以增进读者对度量空间和欧氏空间的拓扑性质的理解。我们希望这样能够在保持拓扑空间的理论线条清晰的情况下使读者对概念的引出感到自然,并避免由于高度抽象带来的枯燥感。由于这种安排方式,不可避免地使我们将度量空间的一个重要的非拓扑性质“完备性”作为附录,放在最后本书第一章是关于集合的预备知识。熟悉朴素集合论的读者完全可以

14、只是浏览一下以习惯尔后用到的术语。第二章是全书的理论基础,起着特别重要的作用,第三章较为独立,以后的章节除个别的定理和习题外,对它并无要求。第四,第五,第六这三章则是连贯着的,很难加以分割。我们有意识地将全书分为两段,以适应不同的情况。如果课时不足,第七,八两章的内容可以舍去,余下的部分仍自成一个体系。第一版编者的话此外,在各个章节中给出了足够的例子,用以帮助读者澄清容易引起混淆的各种近似的拓扑概念的细致差别。在每节之后编写了一定数量的习题。其中大部分是简单的,但也有一些对初学者有中等的难度,我们加上了普号以示区别。学习这个课程并不预先要求读者有广博的数学知识,仅就逻辑的需要而言,只要知道一些

15、关于自然数及实数的基本性质即可。但是为了对所讨论的问题有更好的理解,却希望读者对微积分中讨论的连续性概念有所体会。一般说来,懂得微积分的读者阅读此书应当没有任何困难。在编写此书的过程中主要用到的两篇中文材料是江泽涵著拓扑学引论(上海科技出版社,1978)和廖山涛著点集拓扑讲义(北大印刷厂,油印,1960),此外也参照了一些外文书刊,恕不一一列举本书的最初稿本是1979年编者应邀在南京师范学院数学系举办的一个讲习班上讲课时所编的讲义,后又经过修改作为中国科技大学数学系高年级学生拓扑课程的教材。(顺此提及在中国科技大学77,78两届学生的拓扑课程中只是用一学期的一半时间讲述本书第一章至第六章的内容再加上第八章的第二节,其余半时间则讲述代数拓扑。)本书也在安徽教育学院数学系(对该系77届部分选课的学生)试用过。编写此书的过程中,编者得到了北京大学江泽涵教授和廖山涛教授的支持、鼓励和帮助。南京师范学院数学系杨润生同志曾认真校阅过本书最初的稿本。四川大学刘应明教投为本书的出版作了认真而细致的审阅,提出了许多宝贵的意见,指出了原稿中多处疏漏与失当。对于以上的各位同志,编者于此致以衷心的谢意。编者1981年春于中国科技大学